Hmm.. welches Format hat der Webstream?
mp3/ogg wäre kein Problem.

Ich glaub Winamp hat eine Record-Funktion ("Output" ?). Du bräuchtest den Stream nur aufnehmen.. und mit Hilfe eines freigegebenen Ordners dem Netzwerk zur Verfügung stellen.
Die anderen können dann mit jedem beliebigen Player darauf zugreifen. Es entsteht zwar eine kurze Verzögerung, aber halb so wild.

Falls du keinen Ordner freigeben möchtest, kannst du eventuell einen Icecast2 Server laufen lassen.
Den Stream speicherst du im Icecast-Verzeichnis, und die anderen können dann darauf zugreifen.

du könntest ganz primitivauf dem pc winamp laufen lassen, dafür gibt das shoutcast output-plugin (gratis)

dann brauchst nur noch einen shoutcast server (da gibts so weit ich mich erinner von analogX was) hatt ich vor ca einem jahr mal laufen