Der MX-Eintrag sagt aus, AN welchen Mailserver die Mails für eine bestimmte Domain geschickt werden müssen, nicht woher sie kommen können (dafür könnte man SPF verwenden).

Wenn Du keine eigene Domain hast, verwend den SMTP-Server Deines Providers, um Deine Mails zu relayen. Andernfalls werden die meisten Mailserver die Mails nicht zur Zustellung übernehmen.

Mailversand aus Dial-Up bereichen von ISP´s sind fast immer problematisch, da Sie meinstens geblacklistet sind. Die meisten Provider sind sehr restriktiv, was die Annahme von emails betrifft. Schon kleine Abweichungen vom SMTP-RFC in der Kommunikation oder ein fehlender oder nicht gleich der Senderdomain gesetzter PTR Eintrag bei der IP-Adresse verhindern die Annahme.

Für dein vorhaben vom Chello Kundenbereich Mails zu schicken, musst du deinen Verkehr auf den chello Smarthost rausschicken, der relayd für das ganze Chello Netz, dann funktionierts einigermaßen zuverlässig, ausser der Smarthost ist wieder mal auf einer Blacklist.

Recht aufschlussreich ist z.B.: dieser Artikel aus den Postfix How-To´s. Ist zwar schon älter, aber alle Checks die da drinnenstehen findest du fast immer in der freien Wildbahn und sollten in entgegengesetzter Richtung bei dir funktionieren, dann hast du so gut wie keine Probleme.