du solltest hier statt 2 mal value zu schreiben, name="speichern" schreiben 
Code
<input type="submit" value="Daten hinzufügen" value="speichern"><input type="reset">sonst wird das hier nie ausgeführt
Code
if(isset($_POST['speichern']))
{
$name=$_POST['name'];
$durchwahl=$_POST['durchwahl'];
$pieper=$_POST['pieper'];
mysql_query("INSERT INTO arzt (name,durchwahl,pieper) VALUES ('$name','$durchwahl','$pieper')");
}
