Nachdem du den Vertrag ab einem gewissen Zeitpunkt abschließt wirst du kaum die Mietkosten des Vormieters übernehmen müssen.
Auf Gemeinkosten solltest du achten: Wer übernimmt die Kosten wenn in deiner Wohnung die Heizung kaputt ist oder die Fenster undicht sind und ersetzt werden müssen? Wer trägt die Kosten wenn der Lift repariert wird - werden sie auf die Mieter verteilt oder vom Besitzer des Gebäudes getragen?
Den Zustand der Wohnung solltest du beim Einzug gut überprüfen. Undichte Fenster, Schimmelflecken usw. In Klo und Küche sollte alles funktionieren und entsprechend sauber sein, wenn es das nicht ist unbedingt auch festhalten.
Soviel ich weiß werden Wohnungen ja kategorisiert - informiere dich über die Kategorie deiner Wohnung und stelle fest ob sich ihr Zustand mit dem vorgeschriebenen für diese Kategorie deckt.
Die Kaution sollte natürlich im Mietvertrag erwähnt werden. Als ich meine letzte Wohnung kündigte hat sie mir der Vermieter mit Zinsen zurückerstattet - informiere dich, ob sie dir zustehen.
Das ist schon alles was mir so einfällt. Generell könntest du dir eine Mitgliedschaft bei der Mietervereinigung überlegen. Gegen kleinen (Mitgliedschafts-)Entgelt wirst du dort bei Problemen betreut.
Sobald du eine Wohnung gefunden hast die dir gefällt wäre es gut dich über die Nachbarn zu informieren - oder selbst bei Ihnen anzuleuten, dich vorzustellen, einfach damit du siehst was für Leute um dich wohnen und dir von ihnen sagen lassen wie die Nachbarn so sind. Wenn du gerne nach Mitternacht laut Musik hörst möchtest du keine alte Dame zum Nachbarn die dich wegen Ruhestörung anzeigt. Und umgekehrt möchtest du dir sicher nicht spät die Ruhe stören lassen wenn du es gewöhnlich eher ruhig hast.
EDIT: Bezüglich der Betriebskosten: Der Mieter muss dir eine Betriebskostenabrechnung vorlegen in der ersichtlich ist welche Kosten angefallen sind und auf welcher Basis (z.B. qm-Anzahl) sie verteilt worden sind.